Optimisation mathématique : calculer l'optimum global pour les dépenses d'investissement (CAPEX), l'allocation de capital et les portefeuilles de projets
L'optimisation mathématique utilise des modèles et des algorithmes mathématiques pour déterminer, parmi de nombreuses décisions possibles, une solution qui optimise un objectif défini dans le respect de contraintes données.
Dans le cadre des CAPEX, de l’allocation de capital et de la gestion de portefeuilles de projets, cela signifie par exemple :
Quelle combinaison de projets maximise notre VAN, notre ROI ou la valeur stratégique de notre portefeuille dans le cadre d’un budget limité ?
Le défi ne réside pas principalement dans l’évaluation de projets individuels.
Il réside dans le nombre de combinaisons possibles.
Avec 20 projets indépendants de type « oui/non », il existe théoriquement jusqu’à :
2^20 = 1 048 576 combinaisons.
Pour 50 projets :
2^50 ≈ 1,13 × 10^15 combinaisons.
Pour 100 projets :
2^100 ≈ 1,27 × 10^30 combinaisons.
C'est précisément là qu'interviennent l'optimisation combinatoire, la recherche opérationnelle, la programmation mixte en nombres entiers, l'optimisation sous contraintes et les algorithmes spécialisés d'optimisation de portefeuille.
Ne vous contentez pas de classer les projets. Calculez le portefeuille.
Table des matières
- Qu'est-ce que l'optimisation mathématique ?
- Qu'est-ce que l'optimisation combinatoire ?
- Qu'est-ce qu'un logiciel d'optimisation combinatoire ?
- Qu'est-ce que l'optimisation mathématique de portefeuille ?
- Qu'est-ce qu'un algorithme d'optimisation de portefeuille ?
- Qu'est-ce qu'un solveur d'optimisation pour les entreprises ?
- Recherche opérationnelle pour l'allocation de capital
- Programmation mixte entière pour les dépenses d'investissement (CAPEX)
- Le problème du sac à dos en tant qu’application métier
- Optimisation de portefeuille par la VAN
- Optimisation de portefeuille en termes de ROI
- Maximisation de la VAN sous contrainte budgétaire
- Qu'est-ce que l'optimisation sous contraintes ?
- Qu'est-ce que l'optimisation sous contrainte budgétaire ?
- Qu'est-ce que l'optimisation globale ?
- Qu'est-ce qu'un optimum global ?
- Qu'est-ce que la combinaison optimale de projets ?
- Classement des projets vs optimisation mathématique
- L'espace de décision combinatoire
- Le modèle mathématique de portefeuille
- Modélisation mathématique des contraintes
- Modélisation mathématique des dépendances entre projets
- Modélisation mathématique des projets obligatoires
- Exemple : pourquoi la combinaison est déterminante
- Exemple : optimisation d’un portefeuille de 150 projets
- Optimisation multi-objectifs
- Optimisation de portefeuille pluriannuelle
- Optimisation de scénarios
- L'optimisation mathématique dans la salle du conseil
- Optimisation mathématique de portefeuille avec StratePlan
- Foire aux questions
Qu'est-ce que l'optimisation mathématique ?
L'optimisation mathématique désigne la recherche systématique de la meilleure solution possible à un problème de décision défini mathématiquement.
Un problème d'optimisation se compose généralement de trois éléments fondamentaux :
1. Variables de décision
Quelles décisions peuvent être prises ?
Dans le cas d’un portefeuille de projets, par exemple :
sélectionner ou ne pas sélectionner un projet.
2. Fonction objectif
Que faut-il maximiser ou minimiser ?
Exemples :
- Maximiser la VAN
- Maximiser la valeur du portefeuille
- Maximiser l'utilité stratégique
- Minimiser les coûts
- Réduire le risque
3. Contraintes
Quelles conditions doivent être respectées ?
Exemples :
- Budget CAPEX
- Ressources
- Dépendances du projet
- Projets obligatoires
- Règles des unités opérationnelles
- Limites de capacité
- Contraintes temporelles
L'optimisation mathématique recherche ensuite, au sein de l'espace des solutions admissibles, une solution qui satisfait au mieux la fonction objectif définie.
Qu’est-ce que l’optimisation combinatoire ?
L’optimisation combinatoire traite des problèmes d’optimisation dans lesquels on recherche la meilleure combinaison admissible parmi un grand nombre de possibilités discrètes.
Les portefeuilles de projets en sont un exemple typique.
Pour chaque projet, il existe dans un premier temps une décision binaire :
oui ou non.
Investir ou ne pas investir.
Sélectionner le projet ou ne pas le sélectionner.
Avec N décisions binaires indépendantes, on obtient théoriquement jusqu’à :
2^N combinaisons possibles.
| Nombre de projets | Combinaisons théoriquement possibles |
|---|---|
| 10 | 2^10 = 1 024 |
| 20 | 2²⁰ = 1 048 576 |
| 50 | 2⁵⁰ ≈ 1,13 × 10¹⁵ |
| 100 | 2^100 ≈ 1,27 × 10^30 |
| 200 | 2²⁰⁰ ≈ 1,61 × 10⁶⁰ |
Cela montre clairement que :
le problème ne consiste pas seulement à évaluer des projets. Le problème est de trouver la bonne combinaison.
Qu'est-ce qu'un logiciel d'optimisation combinatoire ?
Un logiciel d'optimisation combinatoire aide à résoudre des problèmes de décision discrets comportant un très grand nombre de combinaisons possibles.
Les applications métier typiques sont :
- Allocation des dépenses d'investissement (CAPEX)
- Sélection de portefeuilles de projets
- Planification des investissements
- Allocation des ressources
- Planification de la production
- Planification
- Logistique
- Optimisation des réseaux
- Planification de la maintenance
Contrairement à un simple tableur ou à un système de classement, l'accent n'est pas uniquement mis sur la présentation des données.
Le logiciel modélise un espace de décision mathématique et y recherche une solution pour une fonction objectif définie.
Un logiciel d’optimisation combinatoire ne se contente pas de répondre à la question « Quelle est la qualité du projet A ? », mais cherche à déterminer « Quelle combinaison de A, B, C, D et de tous les autres projets répond le mieux à nos objectifs dans les conditions données ? »
Qu’est-ce que l’optimisation mathématique de portefeuille ?
L’optimisation mathématique de portefeuille applique l’optimisation mathématique à la sélection et à la composition d’un portefeuille.
Dans un contexte d’entreprise, un portefeuille peut par exemple se composer :
- Projets CAPEX
- Initiatives stratégiques
- Projets de R&D
- Projets de maintenance
- Projets de numérisation
- Programmes de transformation
- Investissements dans les infrastructures
Chaque projet nécessite des capitaux et, éventuellement, d'autres ressources.
Dans le même temps, chaque projet génère une valeur financière ou stratégique attendue.
L'optimisation mathématique de portefeuille permet de déterminer quels projets doivent être sélectionnés conjointement.
La fonction objectif pourrait par exemple être la suivante :
Maximiser la VAN totale du portefeuille.
Ou encore :
Maximiser la valeur combinée, financière et stratégique, du portefeuille.
Toujours dans le respect des contraintes définies.
Qu'est-ce qu'un algorithme d'optimisation de portefeuille ?
Un algorithme d'optimisation de portefeuille est un procédé mathématique permettant de déterminer une configuration de portefeuille appropriée ou optimale au sein d'un modèle défini.
En fonction de la structure du problème, différentes méthodes d'optimisation peuvent être utilisées.
Parmi celles-ci, on peut citer par exemple :
- la programmation linéaire
- La programmation en nombres entiers
- La programmation mixte en nombres entiers
- Programmation dynamique
- Programmation par contraintes
- Méthode « Branch-and-Bound »
- Méthodes heuristiques
- Méthodes métaheuristiques
- Méthodes d'optimisation hybrides
Le choix de l'algorithme approprié dépend des variables, de la fonction objectif, des contraintes et de la taille de l'espace de décision.
L’algorithme n’est pas l’objectif commercial. Il s’agit d’un outil mathématique permettant de résoudre le problème commercial.
Qu'est-ce qu'un solveur d'optimisation pour l'entreprise ?
Un solveur d’optimisation pour l’entreprise est un composant mathématique qui résout des problèmes de décision en fonction d’objectifs et de contraintes définis.
Un utilisateur métier formule par exemple :
Budget : 500 millions d'€ maximum
Capacité d'ingénierie : 25 000 heures maximum
Projet 17 : obligatoire
Le projet 22 nécessite le projet 9
Objectif : maximiser la VAN totale
Le solveur calcule à partir de ces données une combinaison de projets admissible qui optimise la fonction objectif définie.
La valeur essentielle pour la direction ne réside donc pas dans le solveur lui-même.
Elle réside dans la capacité à traduire des règles métier concrètes en un modèle décisionnel calculable.
Recherche opérationnelle pour l’allocation de capital
La recherche opérationnelle utilise des modèles mathématiques, l’optimisation et des méthodes quantitatives pour faciliter la prise de décisions complexes.
L’allocation de capital est un domaine d’application classique.
Une entreprise dispose :
- un capital limité,
- plusieurs opportunités d’investissement,
- des rendements variables,
- des ressources limitées,
- des exigences stratégiques,
- des interdépendances entre les projets.
La recherche opérationnelle en déduit un problème de décision mathématique.
Au lieu de se contenter de demander :
« Quel projet présente le meilleur retour sur investissement ? »,
on se demande :
« Quelle combinaison de tous les investissements disponibles génère le meilleur résultat dans les conditions définies ? »
L’allocation de capital devient ainsi un problème d’optimisation.
Programmation mixte en nombres entiers pour les dépenses d’investissement (CAPEX)
La programmation mixte en nombres entiers, ou MIP (Mixed Integer Programming), est une classe de modèles d’optimisation mathématiques dans lesquels une partie des variables de décision doit être entière ou binaire.
Cette approche est particulièrement adaptée aux portefeuilles CAPEX.
Un projet peut par exemple être représenté par une variable binaire :
xᵢ = 1 → le projet est sélectionné
xᵢ = 0 → le projet n'est pas sélectionné
Les autres variables peuvent être continues.
Par exemple :
- Volume de production
- Quantités de ressources
- Capacités
- parts de financement
La programmation mixte en nombres entiers permet ainsi de combiner des décisions de projet discrètes avec des variables métier continues au sein d’un modèle commun.
Le problème du sac à dos en tant qu’application métier
Le problème du sac à dos est l’un des problèmes d’optimisation combinatoire les plus connus.
Le principe de base :
Il existe plusieurs objets.
Chaque objet possède une valeur et nécessite une certaine capacité.
La capacité totale disponible est limitée.
Il s'agit de trouver la combinaison d'objets qui génère la valeur totale la plus élevée dans les limites de cette contrainte.
Appliqué au CAPEX :
| Problème du sac à dos | Application métier CAPEX |
|---|---|
| Objet | Projet |
| Poids | Investissement |
| Valeur | VAN / Valeur du portefeuille |
| Capacité | Budget d'investissement |
La question commerciale est la suivante :
quels projets faut-il sélectionner pour générer la valeur totale la plus élevée dans les limites du budget ?
Les portefeuilles d'entreprises réels sont souvent plus complexes que le problème classique du « knapsack », car il faut tenir compte de ressources supplémentaires, de dépendances, de projets obligatoires et de conditions pluriannuelles.
Optimisation de portefeuille par la VAN
L’optimisation de portefeuille par la VAN maximise la valeur actuelle nette totale d’un portefeuille d’investissements dans le cadre de contraintes définies.
Une fonction objectif simplifiée est la suivante :
Maximiser Σ NPVᵢ × xᵢ
sous :
Σ Investissementᵢ × xᵢ ≤ Budget
La distinction essentielle :
la VAN évalue tout d’abord la valeur économique d’un projet individuel.
L’optimisation de portefeuille par la VAN détermine ensuite quelle combinaison de ces projets doit être financée conjointement.
Une VAN positive ne signifie pas automatiquement qu’un projet fait partie du portefeuille optimal.
Optimisation du portefeuille par le ROI
L'optimisation de portefeuille par le ROI examine l'impact sur le rendement d'un portefeuille d'investissement dans son ensemble.
Il convient toutefois de faire preuve de prudence face aux classements basés uniquement sur le ROI.
Un projet présentant un ROI très élevé peut être de petite envergure.
Un autre projet peut présenter un ROI relatif plus faible, mais apporter une valeur ajoutée absolue nettement supérieure.
De plus, la taille des projets, les contraintes budgétaires et les effets de synergie peuvent faire en sorte qu’un simple classement par ROI ne conduise pas à la meilleure composition de portefeuille.
C’est pourquoi il convient tout d’abord de définir clairement quel indicateur doit effectivement être optimisé.
Par exemple :
- VAN totale
- Valeur totale
- ROI du portefeuille
- Avantage stratégique
- Combinaison de plusieurs objectifs
La fonction objectif mathématique doit correspondre à l'objectif économique de l'entreprise.
Maximiser la VAN sous contrainte budgétaire
« Maximiser la VAN sous contrainte budgétaire » est un problème classique d’allocation de capital.
Supposons que :
Une entreprise dispose de 100 projets d’investissement.
CAPEX total demandé :
1,2 milliard d’euros
Budget disponible :
750 millions d'€
Chaque projet est associé à une VAN attendue.
La tâche consiste à :
Choisissez la combinaison de projets dont l'investissement total ne dépasse pas 750 millions d'euros et dont la VAN totale est maximale dans le cadre du modèle défini.
En termes formels simplifiés :
Maximiser Σ VANᵢ × xᵢ
sous la contrainte :
Σ CAPEXᵢ × xᵢ ≤ 750 millions d'euros
et :
xᵢ ∈ {0,1}
Des contraintes métier supplémentaires peuvent être ajoutées par la suite.
Qu’est-ce que l’optimisation sous contraintes ?
L’optimisation sous contraintes associe un problème d’optimisation à des conditions que toute solution admissible doit satisfaire.
Dans le cas de portefeuilles de projets, ces conditions peuvent par exemple être les suivantes :
- les dépenses d'investissement (CAPEX) ne doivent pas dépasser 500 millions d'euros.
- Les travaux d'ingénierie ne doivent pas dépasser 20 000 heures.
- Au moins 100 millions d'euros doivent être investis dans l'unité opérationnelle A.
- Le projet 17 doit être mis en œuvre.
- Le projet 22 ne peut être mis en œuvre que si le projet 9 est sélectionné.
- Les projets 31 et 32 ne doivent pas être mis en œuvre simultanément.
L'optimisation s'effectue ensuite uniquement au sein de l'espace de décision autorisé.
Les contraintes transforment l'optimisation théorique en un modèle de décisions d'entreprise réelles.
Qu’est-ce que l’optimisation sous contrainte budgétaire ?
L'optimisation sous contrainte budgétaire recherche la meilleure solution dans les limites d'un budget fixe.
Pour les dépenses d’investissement (CAPEX), la condition de base est la suivante :
CAPEX total sélectionné ≤ budget CAPEX disponible
La limite budgétaire oblige l'entreprise à faire des choix.
Si tous les projets pouvaient être financés, aucune sélection de portefeuille ne serait nécessaire en raison du budget.
C'est donc la rareté des ressources qui donne lieu au problème d'optimisation.
Une question importante pour la direction est la suivante :
« Quelle valeur maximale pouvons-nous atteindre avec ce budget précis ? »
Une deuxième question :
« Comment la valeur réalisable évolue-t-elle si nous augmentons ou réduisons le budget ? »
Qu’est-ce que l’optimisation globale ?
L’optimisation globale désigne la recherche de la meilleure solution dans l’ensemble des solutions admissibles d’un modèle mathématique, plutôt que de se contenter d’examiner une solution localement meilleure dans le voisinage d’une solution initiale.
Cela s’avère pertinent pour les décisions relatives au portefeuille, car de légères modifications apportées à une liste de projets existante ne conduisent pas nécessairement à la meilleure configuration de portefeuille.
Il arrive parfois qu’une sélection apparemment intéressante doive être profondément remaniée pour obtenir une meilleure combinaison.
Par exemple, il peut s’avérer nécessaire de supprimer un grand projet et d’en intégrer plusieurs plus petits.
L’optimisation globale considère la décision de portefeuille dans son ensemble.
Qu’est-ce qu’un optimum global ?
Un optimum global est la meilleure solution au sein de l’espace de solutions admissibles défini pour la fonction objectif spécifiée.
Il est important de bien comprendre la signification exacte :
« Optimum global » ne signifie pas automatiquement « la meilleure décision d’entreprise réelle à tous égards ».
Le résultat est optimal par rapport :
- aux données utilisées,
- la fonction objectif définie,
- les contraintes modélisées,
- les hypothèses retenues.
Si ces hypothèses changent, l'optimum global peut également changer.
C'est pourquoi la qualité du modèle de décision est tout aussi importante que celle de l'algorithme d'optimisation.
La direction définit le problème. Les mathématiques optimisent dans le cadre de ce problème.
Qu'est-ce que la combinaison optimale de projets ?
La combinaison optimale de projets est celle qui, dans le cadre d’un modèle défini, satisfait au mieux la fonction objectif tout en respectant toutes les contraintes.
Elle peut différer considérablement d’un classement classique des projets.
Un projet peut, par exemple, occuper la 3e place sans pour autant faire partie de la combinaison optimale.
À l'inverse, un projet classé 8e peut faire partie du portefeuille optimal en raison de ses coûts, de sa valeur et de ses interactions avec d'autres projets.
La position d’un projet dans le classement et sa valeur pour la combinaison optimale sont deux informations distinctes.
Classement des projets vs optimisation mathématique
| Classement des projets | Optimisation mathématique |
|---|---|
| Évalue les projets individuellement | Évalue la combinaison du portefeuille |
| Génère un classement | Génère une décision de sélection |
| Le projet A est meilleur que le projet B | A + C + F est meilleure que les autres combinaisons admissibles |
| Le budget est souvent défini en aval | Le budget fait partie intégrante du modèle |
| Les dépendances sont difficiles à représenter | Les dépendances peuvent être modélisées sous forme de contraintes |
| Projets obligatoires traités séparément | Projets obligatoires directement intégrables |
| Hiérarchisation | Sélection du portefeuille |
Le classement et l'optimisation remplissent ainsi des fonctions différentes.
Un classement peut fournir des informations sur l'attractivité relative des projets.
L'optimisation répond à la question du portefeuille.
Ne vous contentez pas de hiérarchiser les projets. Optimisez le portefeuille.
L'espace de décision combinatoire
L'espace de décision englobe toutes les alternatives décisionnelles possibles d'un modèle.
Avec 100 décisions binaires relatives aux projets, on obtient théoriquement jusqu’à 2^100 combinaisons.
Beaucoup d'entre elles ne sont pas valables dans la réalité.
Un portefeuille peut, par exemple :
- dépasser le budget,
- nécessiter trop de ressources d'ingénierie,
- enfreindre des dépendances,
- exclure des projets obligatoires,
- enfreindre les règles des unités opérationnelles.
Les contraintes éliminent ces solutions inadmissibles de l'espace de décision.
Il reste alors l'espace de décision réalisable.
C'est au sein de cet espace admissible que l'optimisation recherche la meilleure solution possible pour la fonction objectif définie.
Le modèle mathématique de portefeuille
Un modèle simplifié de portefeuille CAPEX peut être formulé comme suit.
Variable de décision
Pour chaque projet i :
xᵢ ∈ {0,1}
xᵢ = 1 signifie : le projet est sélectionné.
xᵢ = 0 signifie : le projet n'est pas sélectionné.
Fonction objectif
Par exemple :
Maximiser Σ Valueᵢ × xᵢ
Contrainte budgétaire
Σ Coûtᵢ × xᵢ ≤ Budget
Contrainte de ressources
Σ Ressourceᵢ × xᵢ ≤ Ressources disponibles
D’autres conditions peuvent s’ajouter à celles-ci.
Le modèle réel peut s’avérer nettement plus complexe, en fonction du problème métier.
Modélisation mathématique des contraintes
Les règles métier peuvent être traduites en conditions mathématiques.
Par exemple :
CAPEX total ≤ 800 millions d’euros
Ingénierie ≤ 25 000 heures
Investissement de l'unité opérationnelle A ≥ 100 millions d'€
Investissement de l'unité opérationnelle B ≤ 250 millions d'€
30 projets au maximum en parallèle
Une règle de gestion verbale devient ainsi une condition vérifiable mathématiquement.
Toute configuration de portefeuille admissible doit satisfaire à ces conditions.
Modélisation mathématique des dépendances entre projets
Les dépendances entre projets peuvent également être représentées de manière formelle.
Le projet B nécessite le projet A
xB ≤ xA
Si B est sélectionné, A doit également l’être.
Les projets A et B doivent être mis en œuvre conjointement
xA = xB
Les projets A et B s'excluent mutuellement
xA + xB ≤ 1
Au moins l'un des projets A ou B doit être mis en œuvre
xA + xB ≥ 1
Les dépendances techniques ou organisationnelles font ainsi directement partie intégrante de l'optimisation du portefeuille.
Modélisation mathématique des projets obligatoires
Un projet obligatoire peut être modélisé comme une décision fixe.
Pour le projet obligatoire M, on a :
xM = 1
Ainsi, toute configuration de portefeuille admissible doit inclure ce projet.
Cela s’applique par exemple aux cas suivants :
- la conformité
- la sécurité
- Exigences réglementaires
- Cybersécurité
- Obligations contractuelles
- Maintenance nécessaire
L'optimisation ne détermine alors plus si le projet obligatoire sera mis en œuvre.
Elle permet d'optimiser le portefeuille restant autour de ce projet.
Exemple : pourquoi cette combinaison est déterminante
Une entreprise dispose d’un budget de 100 millions d’euros.
| Projet | Investissement | Valeur |
|---|---|---|
| A | 100 millions d'euros | 150 millions d'euros |
| B | 60 millions d'euros | 100 millions d'euros |
| C | 40 millions d'euros | 80 millions d'euros |
Le projet A présente la valeur unitaire la plus élevée.
Si A est sélectionné :
Valeur du portefeuille = 150 millions d'€
Si B et C sont combinés :
Investissement = 60 + 40 = 100 millions d'euros
Valeur du portefeuille = 100 + 80 = 180 millions d'euros
À budget égal, la combinaison B + C génère ainsi 30 millions d'euros de valeur attendue en plus.
La meilleure option prise isolément n'est pas automatiquement la meilleure combinaison.
Exemple : optimisation d’un portefeuille de 150 projets
Une entreprise dispose de 150 projets d'investissement potentiels.
CAPEX demandé :
1,8 milliard d'€
Budget disponible :
1,1 milliard d'euros
S'y ajoutent :
- 250 millions d'€ pour les projets obligatoires
- 30 000 heures d'ingénierie
- Budgets minimaux par unité opérationnelle
- Budgets maximaux par unité opérationnelle
- Dépendances entre projets
- Projets mutuellement exclusifs
- Critères stratégiques
Un classement permet de trier les 150 projets.
Elle ne permet toutefois pas de déterminer automatiquement quelle combinaison répond le mieux à la fonction objectif définie, toutes conditions confondues.
L’optimisation mathématique de portefeuille modélise donc :
les variables de décision + la fonction objectif + les contraintes.
Le résultat est une configuration de portefeuille calculée dans le cadre du modèle défini.
Optimisation multi-objectifs
Souvent, les entreprises ne poursuivent pas un seul objectif.
Outre la valeur financière, les éléments suivants peuvent par exemple être pertinents :
- Croissance
- Adéquation stratégique
- Innovation
- Réduction des risques
- Résilience
- Durabilité
L'optimisation multi-objectifs prend en compte plusieurs objectifs au sein d'une logique décisionnelle définie.
Pour cela, il est par exemple possible de :
- ponderer les objectifs,
- définir des exigences minimales,
- calculer plusieurs scénarios,
- analyser les compromis
.
Il est essentiel que la pondération ne soit pas le fruit d’un calcul mathématique arbitraire.
C'est la direction qui définit les priorités. Le modèle en calcule les conséquences.
Optimisation pluriannuelle du portefeuille
De nombreux projets d'investissement s'étendent sur plusieurs années.
Il en résulte plusieurs contraintes budgétaires et de ressources simultanées.
Par exemple :
CAPEX 2027 ≤ 300 millions d'€
CAPEX 2028 ≤ 350 millions d'€
CAPEX 2029 ≤ 400 millions d'euros
De plus, le lancement du projet, sa durée et les besoins en ressources peuvent être pris en compte.
La question d’optimisation ne se résume alors plus seulement à :
« Quels projets choisissons-nous ? »
Mais :
« Quels projets devrions-nous lancer et financer au cours de quelle période afin d’atteindre au mieux l’objectif défini sur l’ensemble de l’horizon de planification ? »
Optimisation de scénarios
Un modèle mathématique de portefeuille peut être recalculé selon différentes hypothèses.
Par exemple :
Scénario A : budget = 500 millions d’euros
Scénario B : budget = 450 millions d’€
Scénario C : budget = 550 millions d'€
Scénario D : capacité d'ingénierie -20 %
Scénario E : nouveau projet obligatoire
Chaque scénario donne lieu à un nouvel espace de décision réalisable.
La combinaison optimale de projets peut donc également varier.
La direction peut ensuite comparer :
- Projets sélectionnés
- Valeur du portefeuille
- Allocation de capital
- Utilisation des ressources
- Impact stratégique
- Compromis
La planification de scénarios présente différents mondes possibles. L'optimisation calcule la meilleure décision au sein de chaque monde.
L’optimisation mathématique dans la salle du conseil
L’optimisation mathématique prend toute son importance lorsque les hypothèses évoluent au cours d’une réunion de direction.
Le directeur financier demande :
« Que se passerait-il si nous réduisions les dépenses d’investissement de 100 millions d’euros ? »
Le PDG demande :
« Que se passerait-il si la croissance prenait le dessus ? »
Le directeur des opérations demande :
« Que se passerait-il si les capacités d’ingénierie diminuaient de 15 % ? »
Le comité d'investissement demande :
« Que se passera-t-il si le projet 27 devient obligatoire ? »
Chacun de ces changements modifie le problème mathématique de décision.
Grâce à un modèle de portefeuille préétabli, le portefeuille peut être recalculé en fonction des nouvelles conditions.
Le processus décisionnel s’en trouve ainsi modifié :
Question. Modification des contraintes. Calcul. Comparaison. Décision.
Optimisation mathématique de portefeuille avec StratePlan
StratePlan applique l'optimisation mathématique aux décisions réelles en matière de CAPEX, d'investissement et de portefeuille de projets.
Le modèle décisionnel peut notamment inclure :
- ID du projet
- Investissement
- Valeur attendue ou VAN
- Critères stratégiques
- Budgets
- Ressources
- Projets obligatoires
- Dépendances
- Règles métier
- Conditions pluriannuelles
Sur cette base, il est possible de calculer différentes questions relatives au portefeuille.
Par exemple :
- Quelle combinaison de projets maximise la VAN ?
- Quelle combinaison maximise la valeur du portefeuille ?
- Quelle valeur peut-on obtenir avec un budget fixe ?
- Quels projets faudrait-il sélectionner en cas de réduction des dépenses d'investissement (CAPEX) ?
- Quels projets supplémentaires deviennent possibles avec un budget plus élevé ?
- Comment les projets obligatoires modifient-ils le portefeuille ?
- Quel est l’impact des dépendances entre projets ?
- Comment les contraintes de ressources influencent-elles la sélection ?
- Comment la combinaison optimale évolue-t-elle sur plusieurs années ?
- Comment les priorités stratégiques modifient-elles l'allocation du capital ?
StratePlan combine ainsi l'optimisation combinatoire, la sélection de portefeuille et l'analyse de scénarios de gestion.
L'objectif n'est pas de remplacer les décisions de gestion par des calculs mathématiques.
L'objectif est de rendre l'espace décisionnel prévisible.
La direction définit l’objectif.
Les contraintes définissent l'espace des solutions possibles.
Les mathématiques calculent le portefeuille.
La direction prend la décision.
Ne nous croyez pas sur parole. Calculez-le vous-même.
Foire aux questions
Qu'est-ce que l'optimisation mathématique ?
L'optimisation mathématique utilise des modèles et des algorithmes mathématiques pour déterminer, au sein d'un espace de décision défini, une solution qui optimise une fonction objectif sous des contraintes données.
Qu'est-ce que l'optimisation combinatoire ?
L'optimisation combinatoire recherche la meilleure combinaison admissible parmi un grand nombre d'alternatives discrètes. Les portefeuilles de projets comportant des décisions « oui » ou « non » constituent un domaine d'application typique.
Qu'est-ce qu'un logiciel d'optimisation combinatoire ?
Un logiciel d’optimisation combinatoire résout des problèmes de décision discrets comportant de nombreuses combinaisons possibles. Parmi les applications métier, on peut citer notamment la sélection de portefeuilles, l’allocation de capitaux, l’allocation de ressources et la planification.
Qu'est-ce que l'optimisation mathématique de portefeuille ?
L’optimisation mathématique de portefeuille calcule la composition d’un portefeuille en fonction d’une fonction objectif définie et de contraintes réelles telles que le budget, les ressources, les dépendances et les projets obligatoires.
Qu’est-ce qu’un algorithme d’optimisation de portefeuille ?
Un algorithme d'optimisation de portefeuille est une méthode mathématique permettant de rechercher une configuration de portefeuille appropriée ou optimale. La méthode concrète dépend de la structure du problème d'optimisation.
Qu'est-ce qu'un solveur d'optimisation pour les entreprises ?
Un solveur d'optimisation calcule des solutions à des problèmes métier formulés mathématiquement. Il traite les variables de décision, les fonctions objectif et les contraintes, et en déduit une solution optimisée admissible.
Comment la recherche opérationnelle est-elle utilisée pour l’allocation de capital ?
La recherche opérationnelle traduit l’allocation de capital en un problème de décision quantitatif. Le capital, les valeurs des projets, les ressources et d’autres conditions sont modélisés mathématiquement et optimisés conjointement.
Qu’est-ce que la programmation mixte en nombres entiers pour les dépenses d’investissement (CAPEX) ?
La programmation mixte en nombres entiers permet de combiner des variables de décision discrètes et continues. Les projets CAPEX peuvent, par exemple, être modélisés comme des décisions de sélection binaires et combinés à des variables continues de ressources ou de capacité.
Qu'est-ce que le problème du sac à dos dans le monde des affaires ?
Le problème du sac à dos décrit la sélection d’options de valeur dans le cadre d’une capacité limitée. Dans le contexte des CAPEX, les options correspondent aux projets, la capacité au budget et la valeur, par exemple, à la VAN.
Qu’est-ce que l’optimisation de portefeuille par la VAN ?
L’optimisation de portefeuille par la VAN recherche une combinaison de projets qui maximise la valeur actuelle nette totale du portefeuille dans le cadre de contraintes définies.
Qu’est-ce que l’optimisation de portefeuille par le ROI ?
L'optimisation de portefeuille par le ROI examine l'impact d'une combinaison de projets sur le rendement au niveau du portefeuille. La formulation mathématique concrète doit correspondre à la définition souhaitée du ROI du portefeuille et à l'objectif économique visé.
Comment maximiser la VAN sous une contrainte budgétaire ?
Chaque projet est modélisé à l'aide de son investissement et de sa VAN. On recherche ensuite une combinaison de projets dont l'investissement total ne dépasse pas la limite budgétaire et dont la VAN totale est maximale dans le cadre du modèle défini.
Qu'est-ce que l'optimisation sous contraintes ?
L’optimisation sous contraintes recherche la meilleure solution possible qui satisfait simultanément à des conditions définies. Il s’agit par exemple de limites budgétaires, de contraintes de ressources, de dépendances et de projets obligatoires.
Qu’est-ce que l’optimisation sous contrainte budgétaire ?
L’optimisation sous contrainte budgétaire optimise un objectif défini dans le cadre d’un budget fixe. Dans le cas des dépenses d’investissement (CAPEX), par exemple, la VAN totale peut être optimisée dans les limites d’un budget d’investissement maximal disponible.
Qu'est-ce que l'optimisation globale ?
L'optimisation globale vise à déterminer la meilleure solution parmi l'ensemble des solutions admissibles d'un modèle mathématique, plutôt que de se limiter à des améliorations locales d'une solution initiale.
Qu’est-ce qu’un optimum global ?
Un optimum global est la meilleure solution pour la fonction objectif définie, dans l’espace de décision admissible modélisé. Cette affirmation s’applique par rapport aux données, aux hypothèses, à la fonction objectif et aux contraintes du modèle.
Qu’est-ce qu’une combinaison optimale de projets ?
Une combinaison optimale de projets est la combinaison de projets qui, au sein d’un modèle défini, satisfait à toutes les contraintes et atteint au mieux la fonction objectif choisie.
Pourquoi un classement des projets ne suffit-il pas ?
Un classement évalue les projets individuellement et établit un ordre de priorité. Il n’examine pas automatiquement toutes les combinaisons de projets pertinentes dans le cadre de conditions communes en matière de budget, de ressources et de dépendances.
Combien y a-t-il de combinaisons possibles pour 100 projets ?
Avec 100 décisions binaires indépendantes concernant des projets, il existe théoriquement jusqu’à 2^100 combinaisons. Cela correspond à environ 1,27 × 10^30 portefeuilles possibles.
L’optimisation mathématique peut-elle prendre en compte les dépendances entre projets ?
Oui. Les dépendances peuvent être formulées sous forme de contraintes mathématiques. Par exemple, on peut spécifier que le projet B ne peut être sélectionné que si le projet A l’est également.
L'optimisation mathématique peut-elle prendre en compte les projets obligatoires ?
Oui. Un projet obligatoire peut être modélisé comme une condition de sélection fixe et doit donc faire partie intégrante de toute configuration de portefeuille admissible.
L’optimisation mathématique peut-elle prendre en compte plusieurs ressources simultanément ?
Oui. Outre le budget, il est possible d’intégrer, par exemple, les heures d’ingénierie, la capacité informatique, les ETP, les capacités de production ou d’autres ressources limitées en tant que contraintes supplémentaires.
L’optimisation mathématique permet-elle de planifier sur plusieurs années ?
Oui. L’optimisation pluriannuelle peut prendre en compte des budgets, des ressources, des dates de lancement de projets, des durées et des dépendances spécifiques à chaque période au sein d’un modèle décisionnel commun.
Quelle est la différence entre la planification de scénarios et l’optimisation ?
La planification de scénarios définit des hypothèses alternatives concernant l’avenir ou différentes conditions de gestion. L’optimisation calcule, au sein de chaque scénario, une solution pour la fonction objectif définie et les contraintes qui s’y appliquent.
L’optimisation mathématique remplace-t-elle la décision de la direction ?
Non. La direction définit les objectifs, les hypothèses, les critères et les contraintes, et prend la décision finale. L’optimisation mathématique calcule les conséquences de ces spécifications et facilite la comparaison des configurations possibles du portefeuille.
