Optymalizacja matematyczna: obliczanie globalnego optimum dla nakładów inwestycyjnych (CAPEX), alokacji kapitału i portfeli projektów

Optymalizacja matematyczna wykorzystuje modele matematyczne i algorytmy w celu wyłonienia spośród wielu możliwych decyzji rozwiązania, które optymalizuje zdefiniowaną wartość docelową w ramach określonych ograniczeń.

W przypadku nakładów inwestycyjnych (CAPEX), alokacji kapitału i zarządzania portfelem projektów oznacza to na przykład:

Jaka kombinacja projektów maksymalizuje naszą wartość bieżącą netto (NPV), zwrot z inwestycji (ROI) lub strategiczną wartość portfela w ramach ograniczonego budżetu?

Wyzwanie nie polega przede wszystkim na ocenie poszczególnych projektów.

Polega ono na liczbie możliwych kombinacji.

W przypadku 20 niezależnych projektów typu „tak-nie” teoretycznie istnieje do:

2^20 = 1 048 576 kombinacji.

W przypadku 50 projektów:

2^50 ≈ 1,13 × 10^15 kombinacji.

W przypadku 100 projektów:

2^100 ≈ 1,27 × 10^30 kombinacji.

Właśnie w tym miejscu do akcji wkraczają optymalizacja kombinatoryczna, badania operacyjne, programowanie mieszane całkowitoliczbowe, optymalizacja z ograniczeniami oraz wyspecjalizowane algorytmy optymalizacji portfela.

Nie ograniczaj się do rankingu projektów. Oblicz wartość portfela.

Spis treści

• Czym jest optymalizacja matematyczna?
• Czym jest optymalizacja kombinatoryczna?
• Czym jest oprogramowanie do optymalizacji kombinatorycznej?
• Czym jest matematyczna optymalizacja portfela?
• Czym jest algorytm optymalizacji portfela?
• Czym jest solwer optymalizacyjny dla biznesu?
• Badania operacyjne w zakresie alokacji kapitału
• Programowanie mieszane całkowitoliczbowe w zakresie nakładów inwestycyjnych (CAPEX)
• Problem plecaka jako zastosowanie biznesowe
• Optymalizacja portfela NPV
• Optymalizacja portfela pod kątem ROI
• Maksymalizacja NPV przy ograniczeniach budżetowych
• Czym jest optymalizacja z ograniczeniami?
• Czym jest optymalizacja z uwzględnieniem ograniczeń budżetowych?
• Czym jest optymalizacja globalna?
• Czym jest optimum globalne?
• Czym jest optymalna kombinacja projektów?
• Ranking projektów a optymalizacja matematyczna
• Kombinatoryczna przestrzeń decyzyjna
• Matematyczny model portfela
• Modelowanie matematyczne ograniczeń
• Modelowanie zależności między projektami za pomocą metod matematycznych
• Modelowanie matematyczne projektów obowiązkowych
• Przykład: Dlaczego kombinacja ma kluczowe znaczenie
• Przykład: Optymalizacja portfela obejmującego 150 projektów
• Optymalizacja wielokryterialna
• Wieloletnia optymalizacja portfela
• Optymalizacja scenariuszy
• Optymalizacja matematyczna w sali posiedzeń zarządu
• Matematyczna optymalizacja portfela z wykorzystaniem StratePlan
• Często zadawane pytania

Czym jest optymalizacja matematyczna?

Optymalizacja matematyczna to systematyczne poszukiwanie najlepszego możliwego rozwiązania dla zdefiniowanego matematycznie problemu decyzyjnego.

Problem optymalizacji składa się zazwyczaj z trzech podstawowych elementów:

1. Zmienne decyzyjne

Jakie decyzje można podjąć?

Na przykład w przypadku portfela projektów:

wybrać projekt lub go nie wybrać.

2. Funkcja celu

Co należy zmaksymalizować lub zminimalizować?

Przykłady:

• Maksymalizacja NPV
• Maksymalizacja wartości portfela
• Maksymalizacja użyteczności strategicznej
• Minimalizacja kosztów
• Ograniczenie ryzyka

3. Ograniczenia

Jakie warunki należy spełnić?

Przykłady:

• Budżet CAPEX
• Zasoby
• Zależności projektowe
• Projekty obowiązkowe
• Zasady dotyczące jednostek biznesowych
• Ograniczenia wydajności
• Warunki czasowe

Optymalizacja matematyczna następnie poszukuje w dopuszczalnej przestrzeni rozwiązań takiego rozwiązania, które w najlepszy możliwy sposób spełnia zdefiniowaną funkcję celu.

Czym jest optymalizacja kombinatoryczna?

Optymalizacja kombinatoryczna zajmuje się problemami optymalizacji, w których spośród dużej liczby dyskretnych możliwości poszukuje się najlepszej dopuszczalnej kombinacji.

Typowym przykładem są portfele projektów.

W przypadku każdego projektu istnieje najpierw decyzja binarna:

tak lub nie.

Zainwestować czy nie zainwestować.

Wybrać projekt czy nie.

W przypadku N niezależnych decyzji binarnych teoretycznie powstaje do:

2^N możliwych kombinacji.

To jasno pokazuje, że:

Problem nie polega wyłącznie na ocenie projektów. Problem polega na znalezieniu właściwej kombinacji.

Czym jest oprogramowanie do optymalizacji kombinatorycznej?

Oprogramowanie do optymalizacji kombinatorycznej wspiera rozwiązywanie dyskretnych problemów decyzyjnych o bardzo dużej liczbie możliwych kombinacji.

Typowe zastosowania biznesowe to:

• alokacja nakładów inwestycyjnych (CAPEX)
• Wybór portfela projektów
• Planowanie inwestycji
• Alokacja zasobów
• Planowanie produkcji
• Harmonogramowanie
• Logistyka
• Optymalizacja sieci
• Planowanie konserwacji

W przeciwieństwie do zwykłego arkusza kalkulacyjnego lub systemu rankingowego, nacisk nie kładziony jest wyłącznie na prezentację danych.

Oprogramowanie tworzy matematyczną przestrzeń decyzyjną i poszukuje w niej rozwiązania dla zdefiniowanej funkcji celu.

Oprogramowanie do optymalizacji kombinatorycznej odpowiada nie tylko na pytanie „Jak dobry jest projekt A?”, ale także „Która kombinacja projektów A, B, C, D i wszystkich pozostałych najlepiej spełnia nasze cele w danych warunkach?”.

Czym jest matematyczna optymalizacja portfela?

Matematyczna optymalizacja portfela przenosi optymalizację matematyczną na wybór i skład portfela.

W kontekście biznesowym portfel może na przykład składać się z:

• projektów CAPEX
• Inicjatyw strategicznych
• Projekty badawczo-rozwojowe
• Projekty konserwacyjne
• Projekty cyfryzacji
• Programy transformacyjne
• Inwestycje w infrastrukturę

Każdy projekt wymaga kapitału i ewentualnie dodatkowych zasobów.

Jednocześnie każdy projekt generuje oczekiwaną wartość finansową lub strategiczną.

Matematyczna optymalizacja portfela określa, które projekty należy wybrać łącznie.

Funkcja celu mogłaby na przykład brzmieć:

Zmaksymalizuj całkowitą wartość bieżącą netto (NPV) portfela.

Lub:

Zmaksymalizuj łączną wartość finansową i strategiczną portfela.

Zawsze z uwzględnieniem zdefiniowanych ograniczeń.

Czym jest algorytm optymalizacji portfela?

Algorytm optymalizacji portfela to metoda matematyczna służąca do określenia odpowiedniej lub optymalnej konfiguracji portfela w ramach zdefiniowanego modelu.

W zależności od struktury problemu można zastosować różne metody optymalizacji.

Należą do nich na przykład:

• programowanie liniowe
• Programowanie całkowitoliczbowe
• Programowanie mieszane całkowitoliczbowe
• Programowanie dynamiczne
• Programowanie z ograniczeniami
• Metoda gałęzi i granic
• Metody heurystyczne
• Metody metaheurystyczne
• Hybrydowe metody optymalizacji

Wybór odpowiedniego algorytmu zależy od zmiennych, funkcji celu, ograniczeń oraz wielkości przestrzeni decyzyjnej.

Algorytm nie jest celem biznesowym. Jest to narzędzie matematyczne służące do rozwiązania problemu biznesowego.

Czym jest solwer optymalizacyjny dla biznesu?

Solwer optymalizacyjny dla biznesu to matematyczny komponent obliczeniowy, który rozwiązuje problemy decyzyjne w ramach zdefiniowanych celów i ograniczeń.

Użytkownik biznesowy formułuje na przykład:

Budżet: maksymalnie 500 mln €

Możliwości inżynieryjne: maksymalnie 25 000 godzin

Projekt 17: obowiązkowy

Projekt 22 wymaga realizacji projektu 9

Cel: maksymalizacja całkowitej wartości bieżącej netto (NPV)

Solwer oblicza na tej podstawie dopuszczalną kombinację projektów, która optymalizuje zdefiniowaną funkcję celu.

Dlatego też główna wartość dla kierownictwa nie leży w samym solverze.

Leży ona w przełożeniu rzeczywistych zasad biznesowych na model decyzyjny, który można obliczyć.

Badania operacyjne w zakresie alokacji kapitału

Badania operacyjne wykorzystują modele matematyczne, optymalizację i metody ilościowe w celu wspierania złożonych procesów decyzyjnych.

Alokacja kapitału jest klasycznym obszarem zastosowań.

Przedsiębiorstwo dysponuje:

• ograniczony kapitał,
• kilka możliwości inwestycyjnych,
• różne stopy zwrotu,
• ograniczone zasoby,
• wymagania strategiczne,
• zależności między projektami.

Badania operacyjne formułują na tej podstawie matematyczny problem decyzyjny.

Zamiast po prostu zadawać pytanie:

„Który projekt ma najwyższy zwrot z inwestycji (ROI)?”,

zadaje się pytanie:

„Która kombinacja wszystkich dostępnych inwestycji zapewnia najlepszy wynik w określonych warunkach?”

W ten sposób alokacja kapitału staje się problemem optymalizacyjnym.

Programowanie mieszane całkowitoliczbowe dla CAPEX

Programowanie mieszane całkowitoliczbowe, w skrócie MIP, to klasa matematycznych modeli optymalizacyjnych, w których część zmiennych decyzyjnych musi mieć wartości całkowite lub binarne.

Rozwiązanie to nadaje się szczególnie do portfeli CAPEX.

Projekt można na przykład przedstawić za pomocą zmiennej binarnej:

xᵢ = 1 → projekt zostaje wybrany

xᵢ = 0 → projekt nie zostaje wybrany

Pozostałe zmienne mogą mieć charakter ciągły.

Na przykład:

• Wielkość produkcji
• Ilość zasobów
• Moce produkcyjne
• udziały w finansowaniu

Programowanie mieszane całkowitoliczbowe pozwala w ten sposób połączyć dyskretne decyzje projektowe z ciągłymi zmiennymi biznesowymi w ramach jednego wspólnego modelu.

Problem plecaka jako zastosowanie biznesowe

Problem plecaka jest jednym z najbardziej znanych problemów optymalizacji kombinatorycznej.

Podstawowa idea:

Istnieje kilka obiektów.

Każdy obiekt ma określoną wartość i wymaga określonej pojemności.

Całkowita dostępna pojemność jest ograniczona.

Należy znaleźć taką kombinację obiektów, która w ramach tego limitu zapewni najwyższą łączną wartość.

W odniesieniu do CAPEX:

Pytanie biznesowe brzmi:

Jakie projekty należy wybrać, aby w ramach budżetu uzyskać najwyższą wartość całkowitą?

Rzeczywiste portfele przedsiębiorstw są często bardziej złożone niż klasyczny problem plecaka, ponieważ należy uwzględnić dodatkowe zasoby, zależności, projekty obowiązkowe oraz warunki wieloletnie.

Optymalizacja portfela pod kątem NPV

Optymalizacja portfela pod kątem NPV maksymalizuje całkowitą wartość bieżącą netto portfela inwestycyjnego w ramach określonych ograniczeń.

Uproszczona funkcja celu brzmi:

Maksymalizuj Σ NPVᵢ × xᵢ

przy:

Σ Investmentᵢ × xᵢ ≤ budżet

Kluczowa różnica:

NPV ocenia przede wszystkim wartość ekonomiczną pojedynczego projektu.

Optymalizacja portfela NPV decyduje następnie, która kombinacja tych projektów powinna zostać sfinansowana łącznie.

Dodatnia wartość NPV nie oznacza automatycznie, że dany projekt stanowi część optymalnego portfela.

Optymalizacja portfela ROI

Optymalizacja portfela ROI bada wpływ na stopę zwrotu całego portfela inwestycyjnego.

Należy jednak zachować ostrożność przy tworzeniu prostych rankingów ROI.

Projekt o bardzo wysokim ROI może być niewielki.

Inny projekt może charakteryzować się niższym względnym wskaźnikiem ROI, ale znacznie wyższym wkładem wartościowym w ujęciu bezwzględnym.

Ponadto wielkość projektów, ograniczenia budżetowe i efekty synergii mogą sprawić, że proste sortowanie według wskaźnika ROI nie zapewni optymalnego składu portfela.

Dlatego należy najpierw jasno zdefiniować, która wielkość docelowa ma być faktycznie zoptymalizowana.

Na przykład:

• całkowita wartość bieżąca netto (NPV)
• Wartość całkowita
• ROI portfela
• Korzyść strategiczna
• Połączenie kilku celów

Matematyczna funkcja celu musi być zgodna z celami ekonomicznymi przedsiębiorstwa.

Maksymalizacja wartości bieżącej netto przy ograniczeniu budżetowym

„Maksymalizacja NPV przy ograniczeniu budżetowym” to klasyczne zagadnienie z zakresu alokacji kapitału.

Załóżmy, że:

Przedsiębiorstwo posiada 100 projektów inwestycyjnych.

Łączna kwota wnioskowanych nakładów inwestycyjnych (CAPEX):

1,2 mld €

Dostępny budżet:

750 mln €

Dla każdego projektu istnieje oczekiwana wartość bieżąca netto (NPV).

Zadanie brzmi:

Wybierz kombinację projektów, której całkowita wartość inwestycji nie przekracza 750 mln euro, a całkowita wartość NPV jest maksymalna w ramach zdefiniowanego modelu.

W uproszczeniu:

Zmaksymalizuj Σ NPVᵢ × xᵢ

przy warunku:

Σ CAPEXᵢ × xᵢ ≤ 750 mln €

oraz:

xᵢ ∈ {0,1}

Dodatkowe ograniczenia biznesowe można następnie uzupełnić.

Czym jest optymalizacja z ograniczeniami?

Optymalizacja z ograniczeniami łączy zadanie optymalizacyjne z warunkami, które musi spełniać każde dopuszczalne rozwiązanie.

W przypadku portfeli projektów takie warunki mogą na przykład brzmieć:

• Nakłady inwestycyjne (CAPEX) nie mogą przekroczyć 500 mln euro.
• Czas poświęcony na prace inżynieryjne nie może przekroczyć 20 000 godzin.
• Co najmniej 100 mln € musi zostać zainwestowane w jednostkę biznesową A.
• Projekt 17 musi zostać zrealizowany.
• Projekt 22 może zostać zrealizowany tylko wtedy, gdy wybrany zostanie projekt 9.
• Projekt 31 i projekt 32 nie mogą być realizowane jednocześnie.

Optymalizacja odbywa się następnie wyłącznie w ramach dopuszczalnej przestrzeni decyzyjnej.

Ograniczenia przekształcają teoretyczną optymalizację w model rzeczywistych decyzji biznesowych.

Czym jest optymalizacja z ograniczeniami budżetowymi?

Optymalizacja z ograniczeniami budżetowymi poszukuje najlepszego rozwiązania w ramach ustalonego limitu budżetowego.

W przypadku CAPEX podstawowym warunkiem jest:

Całkowity wybrany CAPEX ≤ dostępny budżet CAPEX

Limit budżetowy zmusza przedsiębiorstwo do dokonywania wyborów.

Gdyby można było sfinansować wszystkie projekty, selekcja portfela ze względu na budżet nie byłaby konieczna.

To właśnie niedobór środków powoduje powstanie problemu optymalizacji.

Ważne pytanie dla kierownictwa brzmi:

„Jaką maksymalną wartość możemy osiągnąć przy dokładnie tym budżecie?”

Drugie pytanie brzmi:

„Jak zmienia się osiągalna wartość, gdy zwiększymy lub zmniejszymy budżet?”

Czym jest optymalizacja globalna?

Optymalizacja globalna oznacza poszukiwanie najlepszego rozwiązania w całym odpowiednim, dopuszczalnym przestrzeni rozwiązań modelu matematycznego, zamiast ograniczania się wyłącznie do lokalnie lepszego rozwiązania w otoczeniu rozwiązania początkowego.

Ma to znaczenie dla decyzji dotyczących portfela, ponieważ niewielkie zmiany w istniejącej liście projektów niekoniecznie prowadzą do najlepszej konfiguracji portfela.

Czasami pozornie atrakcyjny wybór trzeba zasadniczo zmienić, aby uzyskać lepszą kombinację.

Na przykład może zaistnieć konieczność usunięcia dużego projektu i włączenia kilku mniejszych.

Optymalizacja globalna traktuje decyzję dotyczącą portfela jako całość.

Czym jest optimum globalne?

Optimum globalne to najlepsze rozwiązanie w ramach zdefiniowanej dopuszczalnej przestrzeni rozwiązań dla określonej funkcji celu.

Ważne jest dokładne zrozumienie tego pojęcia:

„Optymalne globalnie” nie oznacza automatycznie „najlepszej pod każdym względem rzeczywistej decyzji biznesowej”.

Wynik jest optymalny w odniesieniu do:

• użytych danych,
• zdefiniowanej funkcji celu,
• modelowanych ograniczeń,
• przyjętych założeń.

Jeśli założenia te ulegną zmianie, może również ulec zmianie optimum globalne.

Dlatego jakość modelu decyzyjnego jest równie ważna jak algorytm optymalizacji.

Kierownictwo definiuje problem. Matematyka optymalizuje w ramach tego problemu.

Czym jest optymalna kombinacja projektów?

Optymalna kombinacja projektów to taka kombinacja, która w ramach zdefiniowanego modelu najlepiej spełnia funkcję celu, a jednocześnie zachowuje wszystkie ograniczenia.

Może ona znacznie różnić się od klasycznego rankingu projektów.

Na przykład projekt może zajmować 3. miejsce w rankingu, a mimo to nie wchodzić w skład optymalnej kombinacji.

Z kolei projekt zajmujący 8. miejsce może, ze względu na swoje koszty, wartość i interakcje z innymi projektami, stanowić część optymalnego portfela.

Pozycja projektu w rankingu i jego wartość dla optymalnej kombinacji to dwie różne informacje.

Ranking projektów a optymalizacja matematyczna

Ranking i optymalizacja spełniają zatem różne zadania.

Ranking może dostarczyć informacji na temat względnej atrakcyjności projektu.

Optymalizacja odpowiada na pytanie dotyczące portfela.

Nie ograniczaj się tylko do ustalania priorytetów projektów. Zoptymalizuj portfel.

Kombinatoryczna przestrzeń decyzyjna

Przestrzeń decyzyjna obejmuje wszystkie możliwe warianty decyzji w ramach danego modelu.

W przypadku 100 decyzji binarnych dotyczących projektów teoretycznie powstaje do 2^100 kombinacji.

Wiele z nich nie jest dopuszczalnych w rzeczywistości.

Portfel może na przykład:

• przekroczyć budżet,
• wymagać zbyt wielu zasobów inżynieryjnych,
• naruszać zależności,
• wykluczać projekty obowiązkowe,
• naruszać zasady jednostki biznesowej.

Ograniczenia eliminują takie niedopuszczalne rozwiązania z przestrzeni decyzyjnej.

Pozostaje przestrzeń decyzji wykonalnych.

W obrębie tej dopuszczalnej przestrzeni optymalizacja poszukuje najlepszego możliwego rozwiązania dla zdefiniowanej funkcji celu.

Matematyczny model portfela

Uproszczony model portfela CAPEX można sformułować w następujący sposób.

Zmienna decyzyjna

Dla każdego projektu i:

xᵢ ∈ {0,1}

xᵢ = 1 oznacza: projekt zostaje wybrany.

xᵢ = 0 oznacza: projekt nie zostaje wybrany.

Funkcja celu

Na przykład:

Zmaksymalizuj Σ Valueᵢ × xᵢ

Ograniczenie budżetowe

Σ Costᵢ × xᵢ ≤ budżet

Ograniczenie dotyczące zasobów

Σ zasobówᵢ × xᵢ ≤ dostępne zasoby

Na tej podstawie można sformułować dalsze warunki.

W zależności od problemu biznesowego rzeczywisty model może być znacznie bardziej złożony.

Modelowanie matematyczne ograniczeń

Zasady biznesowe można przełożyć na warunki matematyczne.

Na przykład:

Całkowite nakłady inwestycyjne (CAPEX) ≤ 800 mln €

Prace inżynieryjne ≤ 25 000 godzin

Inwestycja w jednostce biznesowej A ≥ 100 mln €

Inwestycja jednostki biznesowej B ≤ 250 mln €

Maksymalnie 30 projektów jednocześnie

W ten sposób z werbalnej zasady zarządzania powstaje warunek, który można zweryfikować matematycznie.

Każda dopuszczalna konfiguracja portfela musi spełniać te warunki.

Modelowanie zależności między projektami za pomocą modelu matematycznego

Zależności między projektami można również przedstawić w sposób formalny.

Projekt B wymaga projektu A

xB ≤ xA

Jeśli wybrano projekt B, należy również wybrać projekt A.

Projekty A i B muszą być realizowane wspólnie

xA = xB

Projekty A i B wzajemnie się wykluczają

xA + xB ≤ 1

Należy zrealizować co najmniej jeden z projektów A lub B

xA + xB ≥ 1

W ten sposób zależności techniczne lub organizacyjne stają się bezpośrednim elementem optymalizacji portfela.

Modelowanie matematyczne projektów obowiązkowych

Projekt obowiązkowy można modelować jako decyzję stałą.

Dla projektu obowiązkowego M obowiązuje:

xM = 1

Oznacza to, że każda dopuszczalna konfiguracja portfela musi zawierać ten projekt.

Ma to znaczenie na przykład w przypadku:

• zgodność z przepisami
• Bezpieczeństwo
• Wymogi regulacyjne
• Cyberbezpieczeństwo
• Zobowiązania umowne
• Konieczna konserwacja

Optymalizacja nie decyduje już o tym, czy projekt obowiązkowy zostanie zrealizowany.

Optymalizuje ona pozostałą część portfela wokół tego projektu.

Przykład: Dlaczego połączenie tych elementów ma kluczowe znaczenie

Przedsiębiorstwo dysponuje budżetem w wysokości 100 milionów euro.

Projekt A ma najwyższą wartość jednostkową.

Jeśli wybrano projekt A:

Wartość portfela = 150 mln €

W przypadku połączenia projektów B i C:

Inwestycja = 60 + 40 = 100 mln €

Wartość portfela = 100 + 80 = 180 mln €

Przy identycznym budżecie opcja B + C generuje zatem o 30 mln euro wyższą wartość oczekiwaną.

Najlepsza opcja pojedyncza niekoniecznie jest najlepszą kombinacją.

Przykład: optymalizacja portfela obejmującego 150 projektów

Przedsiębiorstwo posiada 150 potencjalnych projektów CAPEX.

Wnioskowane nakłady inwestycyjne (CAPEX):

1,8 mld euro

Dostępny budżet:

1,1 mld €

Dodatkowo obowiązują:

• 250 mln € na projekty obowiązkowe
• 30 000 godzin inżynierskich
• Minimalne budżety jednostek biznesowych
• Maksymalne budżety jednostek biznesowych
• Zależności między projektami
• Projekty wzajemnie się wykluczające
• Kryteria strategiczne

Ranking może posortować 150 projektów.

Nie daje on jednak automatycznej odpowiedzi na pytanie, która kombinacja najlepiej spełnia zdefiniowaną funkcję celu we wszystkich warunkach.

Matematyczna optymalizacja portfela modeluje zatem:

zmienne decyzyjne + funkcję celu + ograniczenia.

Wynikiem jest konfiguracja portfela obliczona w ramach zdefiniowanego modelu.

Optymalizacja wielokryterialna

Przedsiębiorstwa często dążą nie tylko do jednego celu.

Oprócz wartości finansowej istotne mogą być na przykład:

• Wzrost
• Dopasowanie strategiczne
• Innowacyjność
• Ograniczanie ryzyka
• Odporność
• Zrównoważony rozwój

Optymalizacja wielokryterialna uwzględnia kilka zmiennych docelowych w ramach zdefiniowanej logiki decyzyjnej.

W tym celu można na przykład:

• przypisać wagi celom,
• określić minimalne wymagania,
• obliczyć kilka scenariuszy,
• przeanalizować kompromisy

.

Kluczowe jest to, aby waga nie była wynalazkiem matematyki.

Kierownictwo określa priorytety. Model oblicza ich konsekwencje.

Wieloletnia optymalizacja portfela

Wiele projektów CAPEX rozciąga się na kilka lat.

Powoduje to pojawienie się wielu ograniczeń budżetowych i zasobowych jednocześnie.

Na przykład:

CAPEX 2027 ≤ 300 mln €

CAPEX 2028 ≤ 350 mln €

CAPEX 2029 ≤ 400 mln €

Dodatkowo można uwzględnić datę rozpoczęcia projektu, czas trwania oraz zapotrzebowanie na zasoby.

Pytanie optymalizacyjne nie brzmi już tylko:

„Które projekty wybieramy?”

Ale:

„Które projekty powinniśmy rozpocząć i sfinansować w danym okresie, aby jak najlepiej zrealizować wyznaczony cel w całym horyzoncie planowania?”

Optymalizacja scenariuszy

Matematyczny model portfela można ponownie obliczyć przy różnych założeniach.

Na przykład:

Scenariusz A: budżet = 500 mln €

Scenariusz B: budżet = 450 mln €

Scenariusz C: budżet = 550 mln €

Scenariusz D: Wydajność inżynieryjna -20 %

Scenariusz E: nowy projekt obowiązkowy

Dla każdego scenariusza powstaje nowa przestrzeń decyzji wykonalnych.

W związku z tym może również ulec zmianie optymalna kombinacja projektów.

Kierownictwo może następnie dokonać porównania:

• Wybrane projekty
• Wartość portfela
• Alokacja kapitału
• Wykorzystanie zasobów
• Wpływ strategiczny
• Kompromisy

Planowanie scenariuszy przedstawia możliwe światy. Optymalizacja oblicza najlepszą decyzję w ramach danego świata.

Optymalizacja matematyczna w sali posiedzeń zarządu

Optymalizacja matematyczna nabiera szczególnego znaczenia, gdy podczas posiedzenia zarządu zmieniają się założenia.

Dyrektor finansowy pyta:

„Co się stanie, jeśli zmniejszymy nakłady inwestycyjne o 100 mln euro?”

Prezes pyta:

„Co się stanie, jeśli wzrost stanie się ważniejszy?”

Dyrektor operacyjny pyta:

„Co się stanie, jeśli moce inżynieryjne spadną o 15 procent?”

Komisja inwestycyjna pyta:

„Co się stanie, jeśli projekt 27 stanie się obowiązkowy?”

Każda z tych zmian wpływa na matematyczny problem decyzyjny.

Dzięki przygotowanemu modelowi portfela można ponownie obliczyć wartość portfela w nowych warunkach.

W ten sposób zmienia się proces decyzyjny:

Pytanie. Zmiana ograniczeń. Obliczenia. Porównanie. Decyzja.

Matematyczna optymalizacja portfela z wykorzystaniem StratePlan

StratePlan przenosi optymalizację matematyczną na rzeczywiste decyzje dotyczące nakładów kapitałowych (CAPEX), inwestycji i portfela projektów.

Model decyzyjny może obejmować między innymi:

• ID projektu
• Inwestycja
• Wartość oczekiwana lub NPV
• Kryteria strategiczne
• Budżety
• Zasoby
• Projekty obowiązkowe
• Zależności
• Zasady biznesowe
• Warunki wieloletnie

Na tej podstawie można obliczyć różne kwestie związane z portfelem.

Na przykład:

• Która kombinacja projektów maksymalizuje wartość bieżącą netto (NPV)?
• Która kombinacja maksymalizuje wartość portfela?
• Jaką wartość można osiągnąć przy stałym budżecie?
• Jakie projekty należy wybrać przy ograniczonych nakładach inwestycyjnych (CAPEX)?
• Jakie dodatkowe projekty staną się możliwe przy wyższym budżecie?
• W jaki sposób projekty obowiązkowe wpływają na portfel?
• Jak działają zależności między projektami?
• W jaki sposób ograniczenia zasobów wpływają na wybór?
• Jak zmienia się optymalna kombinacja w perspektywie kilku lat?
• W jaki sposób priorytety strategiczne wpływają na alokację kapitału?

W ten sposób StratePlan łączy optymalizację kombinatoryczną, dobór portfela oraz analizę scenariuszy zarządzania.

Celem nie jest zastąpienie decyzji zarządczych matematyką.

Celem jest uczynienie przestrzeni decyzyjnej przewidywalną.

Kierownictwo określa cel.

Ograniczenia wyznaczają przestrzeń rozwiązań.

Matematyka oblicza portfel.

Kierownictwo podejmuje decyzję.

Nie wierz nam na słowo. Oblicz to sam.

Często zadawane pytania

Czym jest optymalizacja matematyczna?

Optymalizacja matematyczna wykorzystuje modele matematyczne i algorytmy w celu określenia rozwiązania w ramach zdefiniowanej przestrzeni decyzyjnej, które optymalizuje funkcję celu przy zadanych ograniczeniach.

Czym jest optymalizacja kombinatoryczna?

Optymalizacja kombinatoryczna polega na wyszukiwaniu najlepszej możliwej, dopuszczalnej kombinacji spośród dużej liczby dyskretnych alternatyw. Typowym obszarem zastosowań są portfele projektów wymagające decyzji typu „tak–nie”.

Czym jest oprogramowanie do optymalizacji kombinatorycznej?

Oprogramowanie do optymalizacji kombinatorycznej rozwiązuje dyskretne problemy decyzyjne z wieloma możliwymi kombinacjami. Zastosowania biznesowe obejmują między innymi wybór portfela, alokację kapitału, alokację zasobów oraz planowanie.

Czym jest matematyczna optymalizacja portfela?

Matematyczna optymalizacja portfela oblicza skład portfela w oparciu o zdefiniowaną funkcję celu oraz rzeczywiste ograniczenia, takie jak budżet, zasoby, zależności i projekty obowiązkowe.

Czym jest algorytm optymalizacji portfela?

Algorytm optymalizacji portfela to matematyczna metoda służąca do wyszukiwania odpowiedniej lub optymalnej konfiguracji portfela. Konkretna metoda zależy od struktury problemu optymalizacyjnego.

Czym jest solwer optymalizacyjny dla biznesu?

Solwer optymalizacyjny oblicza rozwiązania dla sformułowanych matematycznie problemów biznesowych. Przetwarza zmienne decyzyjne, funkcje celu i ograniczenia, a na ich podstawie określa dopuszczalne, zoptymalizowane rozwiązanie.

W jaki sposób badania operacyjne są wykorzystywane w alokacji kapitału?

Badania operacyjne przekształcają alokację kapitału w ilościowy problem decyzyjny. Kapitał, wartości projektów, zasoby i inne warunki są modelowane matematycznie i wspólnie optymalizowane.

Czym jest programowanie mieszane całkowitoliczbowe w kontekście CAPEX?

Programowanie mieszane całkowitoliczbowe umożliwia połączenie zmiennych decyzyjnych dyskretnych i ciągłych. Projekty CAPEX można na przykład modelować jako binarne decyzje wyboru i łączyć je ze zmiennymi ciągłymi dotyczącymi zasobów lub zdolności produkcyjnych.

Czym jest problem plecaka w biznesie?

Problem plecaka opisuje wybór wartościowych opcji przy ograniczonej pojemności. W przypadku CAPEX opcje odpowiadają projektom, pojemność – budżetowi, a wartość – na przykład NPV.

Czym jest optymalizacja portfela NPV?

Optymalizacja portfela NPV polega na poszukiwaniu kombinacji projektów, która w ramach zdefiniowanych ograniczeń maksymalizuje całkowitą wartość bieżącą netto portfela.

Czym jest optymalizacja portfela pod kątem ROI?

Optymalizacja portfela pod kątem ROI bada wpływ kombinacji projektów na stopę zwrotu na poziomie portfela. Konkretne sformułowanie matematyczne powinno być dostosowane do pożądanej definicji ROI portfela oraz do celów ekonomicznych.

Jak zmaksymalizować NPV przy ograniczeniu budżetowym?

Każdy projekt jest modelowany pod kątem inwestycji i NPV. Następnie poszukuje się kombinacji projektów, której łączna inwestycja nie przekracza limitu budżetowego, a łączna wartość NPV jest maksymalna w ramach zdefiniowanego modelu.

Czym jest optymalizacja z ograniczeniami?

Optymalizacja z ograniczeniami polega na poszukiwaniu najlepszego możliwego rozwiązania, które jednocześnie spełnia określone warunki. Przykładami są ograniczenia budżetowe, limity zasobów, zależności oraz projekty obowiązkowe.

Czym jest optymalizacja z ograniczeniami budżetowymi?

Optymalizacja z ograniczeniami budżetowymi polega na optymalizacji określonej wartości docelowej w ramach ustalonego budżetu. W przypadku nakładów inwestycyjnych (CAPEX) można na przykład zoptymalizować całkowitą wartość NPV w ramach maksymalnego dostępnego budżetu inwestycyjnego.

Czym jest optymalizacja globalna?

Optymalizacja globalna ma na celu określenie najlepszego rozwiązania w całym istotnym, dopuszczalnym obszarze rozwiązań modelu matematycznego, zamiast ograniczać się do lokalnych ulepszeń rozwiązania początkowego.

Czym jest optimum globalne?

Optimum globalne to najlepsze rozwiązanie dla zdefiniowanej funkcji celu w ramach modelowanej przestrzeni decyzyjnej. Stwierdzenie to odnosi się do danych, założeń, funkcji celu i ograniczeń modelu.

Czym jest optymalna kombinacja projektów?

Optymalna kombinacja projektów to taka kombinacja projektów, która w ramach zdefiniowanego modelu spełnia wszystkie ograniczenia i w najlepszy możliwy sposób realizuje wybraną funkcję celu.

Dlaczego ranking projektów nie jest wystarczający?

Ranking ocenia projekty pojedynczo i tworzy ich kolejność. Nie analizuje on automatycznie wszystkich istotnych kombinacji projektów przy wspólnych warunkach budżetowych, zasobowych i zależności.

Ile kombinacji istnieje w przypadku 100 projektów?

W przypadku 100 niezależnych, binarnych decyzji dotyczących projektów teoretycznie istnieje do 2^100 kombinacji. Odpowiada to w przybliżeniu 1,27 × 10^30 możliwych portfeli.

Czy optymalizacja matematyczna może uwzględniać zależności między projektami?

Tak. Zależności można sformułować jako ograniczenia matematyczne. Na przykład można określić, że projekt B może zostać wybrany tylko wtedy, gdy wybrany zostanie również projekt A.

Czy optymalizacja matematyczna może uwzględniać projekty obowiązkowe?

Tak. Projekt obowiązkowy można zamodelować jako stały warunek wyboru, dzięki czemu musi on stanowić element każdej dopuszczalnej konfiguracji portfela.

Czy optymalizacja matematyczna może uwzględniać jednocześnie wiele zasobów?

Tak. Oprócz budżetu można na przykład uwzględnić jako dodatkowe ograniczenia godziny inżynierskie, wydajność IT, ekwiwalenty pełnego czasu pracy (FTE), moce produkcyjne lub inne ograniczone zasoby.

Czy Mathematical Optimization może planować z wieloletnim horyzontem czasowym?

Tak. Optymalizacja wieloletnia może uwzględniać budżety, zasoby, terminy rozpoczęcia projektów, czasy trwania i zależności specyficzne dla poszczególnych okresów w ramach wspólnego modelu decyzyjnego.

Jaka jest różnica między planowaniem scenariuszy a optymalizacją?

Planowanie scenariuszy definiuje alternatywne założenia dotyczące przyszłości lub różne warunki zarządzania. Optymalizacja oblicza w ramach każdego scenariusza rozwiązanie dla zdefiniowanej funkcji celu i obowiązujących w nim ograniczeń.

Czy optymalizacja matematyczna zastępuje decyzję kierownictwa?

Nie. Kierownictwo określa cele, założenia, kryteria i ograniczenia oraz podejmuje ostateczną decyzję. Optymalizacja matematyczna oblicza konsekwencje tych wytycznych i wspiera porównanie możliwych konfiguracji portfela.